Números, ritmes, proporcions, freqüències i formes amb el que el cosmos es desenvolupa eternament, el mateix que pel moviment dels astres, pel creixement d’una flor o l’estructura d’un àtom.
“Hi ha geometria en el brunzit de les cordes, hi ha música a la separació de les esferes.” – Pitàgores
1. Figures i construcció
Les línies geomètriques són la recta i l’arc de circumferència.
ESTRIS:
Línies geomètriques
Paral·leles / Perpendiculars / Mediatrius i Tales / Bisectrius / Altures / Mitjanes.
Mediatrius:
Tales:
Bisectrius:
Altures:
Mitjanes:
Angles:
Trasllat d’angles:
Punts notables d’un triangle:
Baricentre (mitjanes) / Circumcentre (mediatrius) / Incentre (bisectrius) / Ortocentre (altures)
Figures Geomètriques
2D Polígons regulars
Triangle Equilàter
Quadrat
Pentàgon
Hexàgon
Inscrits
2D Polígons no regulars
Triangle Isòsceles, Triangle escalè
Rombe, romboide
Trapezi, trapezoide
Figures rodones
Poliedres 3D
3D Poliedres regulars
Simbòlicament, Plató en el seu llibre Timeu va descriure aquests cossos platònics com a elements. (tetraedre punxant com el foc, cub que es pot mesurar com la terra, Octaedre l’aire suau, icosaedre de difícil agafar com l’aigua. Dodecaedre, Plató diu que Déu va utilitzar-lo per disposar les constel·lacions en tot el cel, format per pentàgons, que són la base per la construcció de la secció àuria: el buit.
3D Poliedres no regulars
Piràmides
Prismes
Sòlids d’Arquímedes
Cossos rodons
Esfera / Con / Cilindre / Superfícies tòriques
La geometria servia per planificar rituals religiosos en relació amb l’agricultura i la construcció de temples equinoccials i solsticials. A l’antiguitat quan es miraven les formes de la creació, ja s’imaginaven davant de la presència de codis divins o símbols d’estructures espirituals:
–La successió Fibonacci: és una successió matemàtica de nombres naturals tal que cada un dels seus termes és igual a la suma dels dos anteriors. Aquesta successió fou descrita per primera vegada per Fibonacci i cadascun dels seus termes rep el nom de nombre de Fibonacci.
–Divina proporció, secció àuria, raó àuria: s’aconsegueix dividint cada número de la seqüència per l’anterior, així tenim el PHI, o número d’or, que es diu que és el número buit, l’espai.
Nombre irracional algebraic positiu que, elevat al quadrat, és igual a ell mateix més una unitat: (1 + ⎷5 ) ⁄ 2 = 1,618.
El número d’or apareix en molts problemes geomètrics relatius a les divisions harmòniques de segments o a proporcions de rectangles, o entre mides. Així, un rectangle té de proporció el número d’or si, i solament si, té la mateixa proporció del rectangle que resulta de treure del rectangle original un quadrat. Aquest nombre és el límit dels quocients 1 ⁄ 1, 2 ⁄ 1, 3 ⁄ 2, 5 ⁄ 3… dels termes de la successió de Fibonacci i té una important presència en elements naturals i artístics, especialment en pintura i arquitectura, ja que que el número d’or és igual al cosinus de 36º i, per tant, està lligat al pentàgon, al decàgon i als poliedres en què aquests polígons són presents. Una proporció de la figura humana lligada al número d’or és la de l’alçada d’una persona dividida per l’alçada del seu melic. Això fou aprofitat, per exemple, per a crear el modulor de Le Corbusier. Avui les targetes de crèdit, el carnet d’identitat i moltes peces rectangulars de disseny tenen de proporció aquest nombre.
–Els Fractals: Un fractal és un objecte matemàtic de gran complexitat definit per algorismes simples. L’interior té la mateixa forma que l’exterior (pinya, bròquil, nines russes, rosa.) Creació de fractals: http://www.myoats.com/
En la introducció del llibre *La divina geometría. Jaime Buhigas Tallon, s’explica com la plenitud no es troba sinó amb una unió del oposats. La unió del coneixement específic amb el global. Per això en l’antiguitat, els grans tècnics també eren filòsofs i poetes, o els grans escribes també van ser artistes.
La geometria: és la resposta a la nostra cerca integradora.
Per tant, hem de recuperar la geometria sagrada: aquella que va fer possible la construcció de piràmides i zigurats, la que va dictar la morfologia precisa dels ordres clàssics: dòric, jònic i corinti, aquella que va portar a les grans catedrals, Recuperada al renaixement per tal de desxifrar el llenguatge de l’univers i les lleis del cosmos.
La geometria no és un coneixement únic, és una poderosa arma per acostar-nos a ell. Un camí que ens ajudarà a intuir-lo, però no a comprendre’l, ja que la seva essència excedeix de molt, els límits de la raó.
Construcció de triangles sabent:
3 costats / 2 costats i angles / 2 angles
- Igualtat: dues figures amb mateixa forma i grandària.
- Semblança: dues figures amb mateixa forma, però diferent grandària.
Escala
Espirals
2. Artistes
Art contemporani, art conceptural
Arnau Millà i sound painting
Àngels Ribé. (Barcelona, 1943) és una artista conceptual catalana, considerada una de les més rellevants de l’art conceptual dels anys 70.[1] Amb una forta presència internacional.
3. Geometria i natura
- Orígens
- Geòmetres
- Patró de formació
- Psicogeometria (Dan Winter)
- Referència Històrica
- De petits a grans
- LandArt
1.Els orígens de la geometria estan en la natura.
2.Els geòmetres: (del grec, geos: terra i metros: mesura), eren els que literalment mesuraven la terra després de cada pujada del Nil.
3.Cada patró de formació o creixement, ja sigui del regne mineral, vegetal o animal es troba estructurat geomètricament. Ja siguin els flocs de neu, els cristalls, els pètals de les flors, l’ADN, la simetria bilateral, la proporció àuria del cos humà o els moderns gratacels, tot són himnes a la geometria. Inclús la moderna cosmologia ens porta a considerar “la geometria del cosmos”.
4.Dan Winter estudia la psicogeometria, explica com en la naturalesa hi ha la mateixa proporció: en un cargol, les galàxies o el nostre propi cos; aquesta proporció és el número Phi, i Phi és la constant que permet passar del cercle a l’espiral, reentrant en ell mateix: l’autoconsciència. Per sanar-nos diu, hauríem de consumir menjar fractal, rebre ensenyances espirituals que són elèctriques i fer exercici que ens harmonitzi amb l’exterior.
5.Qui? Referència històrica:
Pitàgores va desenvolupar alguns poliedres regulars.
Euclides, del punt a la recta, del pla als poliedres regulars.
Galileo Galilei explicava com la Matemàtica és el llenguatge de la naturalesa.
Monge va definir la geometria descriptiva
Poncelet la geometria projectiva
6. De petits a grans
El principi bàsic de les formes naturals és el d’economia dels mitjans, res és superflu, tot té una funció, sovint lligada a la conservació i reproducció. Tenim les estructures naturals geomètriques i orgàniques. Aquí analitzarem les primeres, on els conceptes d’equilibri i eficàcia hi estan inscrits. El viatge serà circular, de petit a gran: microscòpics, minerals, vegetals, cossos i cosmos.
Microscòpics:
Tenim els fongs com a microscòpics vegetals, protozou com a microscopis animals, bacteris i virus. Tots solen tenir cossos volumètrics i polígons regulars. Necessitarem però l’ús del microscòpic per veure’ls. A tall d’exemple, el bacteri que és definit segons la seva forma: cocos esfèrica, bacils cilíndrica, vibrions incurvada, espiri-los espiralada. I poden trobar-se aïllades o agrupades (diplococ “en dos”, tètrada “en quatre”, estreptococ “en cadena”, sarcina “en forma de cub”, estafilococ “massa esfèrica”).
Minerals:
L’estructura dels minerals ha estat estudiada des de civilitzacions antigues.
La cristal·lografia estudia el creixement, forma i geometria dels cristalls minerals. O com aquests es cristal·litzen, un exemple seria la cristal·lització de l’aigua, amb l’interessant treball de l’artista Masaru Emoto amb “els secrets de l’aigua”.
En molts minerals podem veure a simple vista la seva estructura, també podem apreciar com els processos físics o actuacions naturals defineixin la forma d’aquests minerals, un altre exemple, les formes poligonals del basalt en la cinglera del poble de Castellfollit de la Roca a la Garrotxa. O la forma esfèrica dels planetes gràcies al moviment de rotació.
Vegetals:
Les fulles, les flors, els fruits i els arbres tenen elements geomètrics. Les fulles de formes simètriques, amb l’eix de simetria al mig, podríem dir que formes semblants a les fulles han inspirat moltes ceràmiques al llarg de tot el temps.
Les flors també poden partir d’un nucli geomètrics, d’on hi neixen els pètals. Aquí podem parlar de ritme i ordre estructural de la llei de creixement.
Els fruits, massissos, normalment en formes esfèriques (taronges, cebes, raïms,…), més allargats o menys segons el seu eix de simetria longitudinal. També en formes corbes com els plàtans, o rectes com el meló. Cilíndrics com els mateixos plàtans o còniques com les pastanagues.
Finalment els arbres també tenen una forma cilíndrica cap amunt, amb la copa amb més o menys forma cilíndrica, si no mireu com dibuixa un nen, un arbre.
En moltes construccions podem parlar de boscos, mirant-nos les columnes com a arbres.
Cossos:
Entenem cossos com a animals, que ens diferenciem per estar en moviment. Els animals també tenim un eix de simetria, simetria axial en molts insectes per exemple les libèl·lules, el temps i el medi han fet que canviem al llarg dels anys, exemple les girafes han desenvolupat el seu coll.
Alguns éssers de mar com les estrelles les podem encabir en polígons regulars, En els cossos també hi trobem la secció àuria. El famós estudi de Vitruvi, tornat a agafar per Da Vinci ens mostra l’home posat ocupant un quadrat i una circumferència on és el seu melic el centre de la circumferència, i els seus genials (diví) el centre del quadrat (terrenal).
I doncs quan comencem a fer un dibuix d’una persona comencem encaixa’n-la en formes prismàtiques, cilíndriques, cons,…
Quant a l’home podem parlar aquí del cànon i la proporció molt definit a l’art egipci, començat a deixar a l’art grec i romà, tornat a agafar al medieval i deixat de nou al renaixement. Cert art modern torna a la simplificació de la forma com per excepte Giacometti o tants altres dibuixants.
Referent als cossos, molt interessant el treball de Dan Winter, quan explica com, abans de morir veiem una forma reixada, després una teranyina, un túnel i finalment una espiral. Aquests quatre passos corresponen a la geometria dels plecs del nostre ADN. Segons ell, abans de morir, el nostre camp electromagnètic va cap al centre de cada una de les nostres cèl·lules, cap a dins de l’ADN, per finalment sortir del cos. I aquí afegeix que depèn del grau de fractalitat de l’entorn on morim, i de la nostra preparació, pots arribar a qualsevol punt de l’univers.
Cosmos:
Entre el hombre, el cosmos y las galaxias existe una proporción y esta proporción tiene un nombre y un número, que es la proporción o el número PHI 1.618033988 Monique Dumoulin
Són molts els treballs que demostren que el cosmos, com la naturalesa, segueix un mateix patró geomètric. Ara fa poc, la NASA ha fet una hipòtesi: segons la teoria de la relativitat d’Einstein i el principi cosmològic (bases teòriques del model Big Bang), pot ser que la forma de l’univers sigui una d’aquestes tres: corbat com una esfera, corbat com una cadira de muntar cavall, o plana. Que sigui plana és ara mateix l’alternativa més aprovada.
(imatge)
Això explicaria de l’estimació de l’expansió de l’univers i la seva morfologia, per la radiació còsmica de fons (un núvol de microones reminiscents del Big Bang).
Lucía Caballero. Posibilidades geométricas del universo según la teoría del Big Bang (Fuente: NASA)
Podríem dir doncs que quan més gran o complex, la forma geomètrica se simplifica?
7. Land Art.
Spiral Jetty (moll en espiral) de Robert Smithson a Utah
Full moon Richard Long a Norfolk
Mary Miss.
Nancy Holt
Agnes Denes
Exercicis:
Dissenya la capsa del perfum OLOh! t inspirada en un cos platònic.
Un cop retallada l’estructura, abans d’enganxar-la, decora-la i pinta-la!
Per construir-lo segueix les pautes de construcció de poliedres regulars com per exemple:
RECORDA QUE HAN DE SER FIGURES REGULARS! TROBARÀS COM CONSTRUIR POLÍGONS (quadrat, triangle equilàter, pentàgon,…) MÉS ENLAIRE EN AQUESTA MATEIXA PÀGINA, o en tutorials per internet.
POLIEDRES REGULARS:
Exemples de packaging:
cultura visual 